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匀变速直线运动的速度与位移的关系
 作者: 张毅 出自: u乐国际娱乐客户端_www.youle09.com 2017-02-15

 

[学习目标定位]  1.会推导速度与位移的关系式,并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义.2.会用公式v2v2ax进行分析和计算.3.掌握三个平均速度公式及其适用条件.4.会推导ΔxaT2并会用它解决相关问题.

 

【知识储备】

匀变速直线运动的速度与位移关系式

1.公式:v2v2ax.

2.推导:物体以加速度a做匀变速直线运动时,设其初速度为v0,末速度为v,则由

速度公式:vv0at

位移公式:xv0tat2.

消去时间t得位移与速度的关系式为v2v2ax.

【学习探究】

一、速度位移公式的推导及应用

 

[问题设计]

我国第一艘航空母舰辽宁号已有能力同时起飞3架歼15战机,如图1为辽宁舰上3个起飞点示意图,12号位置为短距起飞点,起飞线长1053号位置为远距起飞点,起飞线长195.如果歼15战机起飞速度为50 m/s,起飞时航母静止不动,且不使用弹射系统,则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少?(设跑道水平)

1

答案  根据vv0at

xv0tat2

t

代入

xv0a()2

整理得v2v2ax

v00v50 m/sx195 m

代入上式得a6.41 m/s2.

[要点提炼]

1.匀变速直线运动的位移速度公式:v2v2ax,此式是矢量式,应用解题时一定要先选定正方向,并注意各量的符号.

v0方向为正方向,则:

(1)物体做加速运动时,加速度a正值;做减速运动时,加速度a负值.

(2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反.

2.两种特殊情况

(1)v00时,v22ax.

(2)v0时,v2ax.

3.公式特点:该公式不涉及时间.

 

二、中间时刻的瞬时速度与平均速度

 

 [问题设计]

一质点做匀变速直线运动的vt图象如图2所示.已知一段时间内的初速度为v0,末速度为v.

2

(1)这段时间内的平均速度(v0v表示)

(2)中间时刻的瞬时速度v

(3)这段位移中间位置的瞬时速度v.

答案  (1)因为vt图象与t轴所围面积表示位移,t时间内质点的位移可表示为

x·t

平均速度

①②两式得

(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即:v.

(3)对前半位移有v2v2a

对后半位移有v2v22a

两式联立可得v

[要点提炼]

1.中间时刻的瞬时速度v.

2.中间位置的瞬时速度v .

3.平均速度公式总结:

,适用条件:任意运动.

,适用条件:匀变速直线运动.

v,适用条件:匀变速直线运动.

注意  对匀变速直线运动有v.

[延伸思考]

在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度v与中间位置的瞬时速度v哪一个大?

答案  如图甲、乙所示,中间位置的瞬时速度与t对应,故有v>v.

 

三、重要推论ΔxaT2的推导及应用

 

[问题设计]

物体做匀变速直线运动,加速度为a,从某时刻起T时间内的位移为x1,紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明:x2x1aT2.

答案  证明:设物体的初速度为v0

自计时起T时间内的位移

x1v0TaT2                                           

在第2T时间内的位移

x2v0·2Ta(2T)2x1v0TaT2.          

①②两式得连续相等时间内的位移差为

Δxx2x1v0TaT2v0TaT2aT2

ΔxaT2.

[要点提炼]

1.匀变速直线运动中,在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值,即ΔxaT2.

2.应用

(1)判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δxx2x1x3x2……xnxn1aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动.

(2)求加速度

利用连续相等时间段内的位移差Δx,可求得a.

【典例精析】

一、速度与位移关系的简单应用

 

1   ABC三点在同一条直线上,一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动,经过B点的速度是v,到C点的速度是3v,则xABxBC等于(    )

A18      B16      C15      D13

解析  由公式v2v2ax,得v22axAB(3v)22a(xABxBC),联立两式可得xABxBC18.

答案  A

 

二、v的灵活运用

 

2   一质点做匀变速直线运动,初速度v02 m/s,4 s内位移为20 m,求:

(1)质点4 s末的速度;

(2)质点2 s末的速度.

解析  解法一  利用平均速度公式

4 s内的平均速度

代入数据解得,4 s末的速度v48 m/s

2 s末的速度v2 m/s5 m/s.

解法二  利用两个基本公式

xv0tat2

a1.5 m/s2

再由vv0at

质点4 s末的速度v4(21.5×4) m/s8 m/s

2 s末的速度v2(21.5×2) m/s5 m/s

答案  (1)8 m/s  (2)5 m/s

针对训练 

一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度时间图象如图3所示,那么0tt3t两段时间内(    )

3

A.加速度大小之比为31

B.位移大小之比为12

C.平均速度大小之比为21

D.平均速度大小之比为11

答案  BD

解析  两段的加速度大小分别为a1a2A错.两段的平均速度12C错,D对.两段的位移x1vtx2vtB对.

 

三、对ΔxaT2的理解与应用

 

3   做匀加速直线运动的物体,从开始计时起连续两个4 s的时间间隔内通过的位移分别 48 m80 m,则这个物体的初速度和加速度各是多少?

解析  解法一  根据关系式ΔxaT2,物体的加速度a m/s22 m/s2.由于前4 s内的位移48v0×4a×42,故初速度v08 m/s.

解法二  设物体的初速度和加速度分别为v0a.由公式xv0tat2得:

4 s内的位移48v0×4a×42

8 s内的位移4880v0×8a×82

解以上两式得v08 m/sa2 m/s2

解法三  物体运动开始后第2 s、第6 s时的速度分别为:

v1 m/s12 m/sv220 m/s

故物体的加速度a m/s22 m/s2

初速度v0v1a·12 m/s2×2 m/s8 m/s

答案  8 m/s  2 m/s2

【课堂小结】

【自我检测】

1.(速度与位移关系的简单应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动,若它们的初速度之比为12,它们运动的最大位移之比为(    )

A12        B14         C1          D21

答案  B

解析  0v2ax,故()2B正确.

2(v的灵活应用)汽车自O点出发从静止开始在平直公路上做匀加速直线运动,途中在6 s内分别经过PQ两根电线杆,已知PQ电线杆相距60 m,车经过电线杆Q时的速率是15 m/s,则下列说法正确的是(    )

A.经过P杆时的速率是5 m/s

B.车的加速度是1.5 m/s2

CPO间的距离是7.5 m

D.车从出发到经过Q所用的时间是9 s

答案  ACD

解析  由于汽车在PQ间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值,即,故vPvQ5 m/sA对.车的加速度a m/s2B错.从OP用时t3 sPO间距离x1·t7.5 mC对.OQ用时tt3 s6 s9 sD对.

3(ΔxaT2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,在连续释放几个后,对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片,测得xAB15 cmxBC20 cm.试问:

(1)小球的加速度是多少?

(2)拍摄时小球B的速度是多少?

(3)拍摄时xCD是多少?

答案  (1)5 m/s2  (2)1.75 m/s  (3)0.25 m

解析  小球释放后做匀加速直线运动,且每相邻的两个小球的时间间隔相等,均为0.1 s,可以认为ABCD各点是一个小球在不同时刻的位置.

(1)由推论ΔxaT2可知,小球加速度为

a m/s25 m/s2.

(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知B点的速度等于AC段上的平均速度,即

vBAC m/s1.75 m/s.

(3)由于连续相等时间内位移差恒定,所以

xCDxBCxBCxAB

所以xCD2xBCxAB2×20×102 m15×102 m25×102 m0.25 m.

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